1、赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

2、　　如果||f||p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。

【资料图】

3、　　如果||f||p = ∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。

4、　　如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

5、　　分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：

6、　　我们现在使用杨氏不等式：

7、　　对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。因此：

8、　　两边积分，得：

9、　　这便证明了赫尔德不等式。

10、　　在p ∈ (1,∞)和||f||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f|p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得：

11、　　μ-几乎处处 (*) ||f||p = 0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。